Braun entstammt ärmlichen Familienverhältnissen und erlernt das Steindruckerhandwerk. Sein Aufstieg in die Politik beginnt 1898 mit der Wahl zum Vorsitzenden des SPD-Bezirks Ostpreußen, später wird er Hauptkassierer und Mitglied des Parteivorstandes. Als sozialdemokratischer Funktionär gehört er ab 1919 dem Reichstag und dem Preußischen Landtag an.

Ab 1920 bekleidet Braun das Amt des preußischen Ministerpräsidenten – eine Aufgabe, die er mit zwei kurzen Unterbrechungen offiziell bis 1933 übernimmt. Unter seiner Regierungsverantwortung entwickelt sich Preußen zum modernen Freistaat. Die Ausrichtung des Beamtenapparates an der Demokratie sieht Braun als Ziel seiner Politik an. Deshalb engagiert er sich aktiv im Reichsbanner. Er tritt regelmäßig auf Kundgebungen auf und wirbt für die Demokratie. Zugleich entwickelt er Preußen zu einer der Hauptstützen der Weimarer Republik. Für die SPD kandidiert Braun 1925 im ersten Wahlgang zur Reichspräsidentenwahl, aus strategischen Gründen wird er bei der Stichwahl jedoch nicht wieder aufgestellt.

Nach der Landtagswahl im April 1932 verliert seine Regierung die Mehrheit, bleibt zunächst geschäftsführend im Amt und wird als Folge des „Preußenputsches“ am 20. Juli 1932 schließlich abgesetzt. Bald nach der Machtübernahme Hitlers flüchtet Braun in die Schweiz. 1942 schließt er sich einem Kreis deutscher Exilpolitiker an, wird Mitverfasser der „Richtlinien eines demokratischen Antinazi-Blocks“ und gehört zu den Mitbegründern der Arbeitsgemeinschaft „Das Demokratische Deutschland“, die Pläne für eine demokratische Nachkriegsordnung entwickelt.